「連理返り」 研究塾 へ 「ようこそ」
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 このページは、連理返りで使った用語や数式をもう少しわかり易く(?)説明する。
回転モーメントについて  シーソーを考えてみよう。左側のAさんは体重W1 Kg、シーソー中心からの距離 a mの距離にすわり、Bさんは、体重W2 Kg、b mの距離に座っている。

 シーソーの支点(中心)に対して、Aさんが反時計方向に回転する力(これを回転モーメントという)は、W1*a で、単位はKg・mである。
 同様にBさんは、W2*b Kg.m の時計回りの回転モーメントを発生させている。Aさんの回転モーメントがBさんより大きければAさんのほうが下がる(時計と反対まわり=反時計方向)。
 Bさんの回転モーメントが大きければBさんが下がる(時計回り)になる。
モーメントの実際  連理返りのからくり人形を作るとして具体的な数値で説明する。
 
 まず、構成要素は、人形(2つ)、本体、重り、である。
 人形の重さを5g、本体の重さを15g、重りの重さは?gとする。?を1つにするため、本体の重さも仮定する。

 人形間の距離を20cm、重りの距離を人形から5cm、の位置とする。図を書くと左図のようになる。
 重りの重さ(?)を計算する。 水色の人形がシーソーの支点になる。

 緑色の人形による回転モーメント(反時計方向) = 5 * 20 =100 g・cm

 本体の重さによる回転モーメントも反時計方向になる = 15 * 10 =150 g・cm

 反時計方向の回転モーメント合計 = 100 + 150 = 250 g・cm

 次に、重りによる回転モーメント(これは時計回りになる) = 5 * ? g・cm

 釣り合うための重りの重さ、を求める。 5*?=250   ?=50 g

 からくり人形の本体は、重りを通す管を左右2箇所作るので、片側の重りは、半分の25gとなる。
   
ボールの重さの計算  ボールですぐ思いつくのは、パチンコの玉である。小生は、パチンコをやらないので、初めて作る時は、パチンコ屋さんへ行き、店長に事情を話して一握り10個ほど戴いた。余談だが、店長さんに貰ったので、途中で嫌になりかけた時も頑張れたと思う。ちなみに店でのパチンコの玉は、貸してもらっているので無断で持って帰ることは出来ない。

 余談が長くなったが、パチンコの玉の重さを計算しよう。
 直径は11mmである。この体積を求める式は、「身の上に(/3)心配(4π)ある身(r^3)」で、次のようになる。
 体積はcmで計算しよう。   計算式 = 4×π×r^3/3
   r^3=半径の3乗=(半径)×(半径)×(半径)=0.55*0.55*0.55=0.166 cm^3
 体積=4×3.14×0.166/3=0.695 cm^3

 重さは、「体積×比重」である。鉄の比重は、大体、7.85 g/cm^3 (1辺の長さが1cmのサイコロの重さ)である。
 パチンコの玉の重さ =0.695×7.85=5.46 g となる。

 水銀の場合は、比重が13.7 g/cm^3あるので、同じ体積でも、9.52 g と重くなる(毒性があるので、小生は使用していない)。
重りの構成をどうするか  必要な重りの重さは、25g(片側)であり、パチンコの玉の重さは、5.5gである。重りの構成方法は3つある。

 1.重りを5つ使う。5.5×5=27.5g  目的とする重さより少し重い、が使えそうだ。
 2.重りの位置を変える。重りの距離をもっと離すとモーメントが大きくなり、近づけると小さくなる。例えば、パチンコの玉を5個使って重くなりすぎた場合は、距離を少し近づけて調整できる。シーソーの場合と同じである。もっと離せば必要な個数は、4個になり、3個になっていく。
重りの構成(2)  では、どんどん離すことができるか。実は、人形の高さ(取付け部より下の高さ)より長くすることが出来ない。何故なら、回転の時本体の端が床に当たるからである。だから、本体の端が少し余裕をもって回転できるぐらいに設定する。

 では、人形の高さを高くする方法を考えよう。これは人形間の距離が関係する。人形間距離は、人形の飛び越す距離を確保するため、人形の高さプラス余裕(15mm程度)が必要になる。これらを考えて設定する。
 
 もう一つの方法は、人形の重さや本体重量を軽くすることである。構造を簡単化し、軽く作ること、また、バルサ材等の軽い材料を使う。比重を調べて(料理に使う秤と材料の体積がわかれば簡単に算出できる)計算しても良いが、実際に試作して、重さを測るのもよい。また、あちこち細くして、計算値に合わせる方法もある。

 重りの大きさ、個数、重りの位置、構造の簡単化、軽い材料を使うなど、柔軟に考えて設計すればよい。
回転モーメントを調べる  下側の階段の人形(水色)を回転中心として、本体が0度から180度まで回転する場合の回転モーメントを求める。グラフ用紙に、順次、45度程度傾けた場合の回転モーメントを求めても良いし、回転モーメントの式をベースに三角関数を使って角度θの一般式を作り、表計算ソフトを使って計算しても良い。

 左の図は、上の階段の人形(緑色)が、途中で1回転せずに、そのまま移動する状態を示している。緑色の人形を回転させる場合は、水色の人形と緑色の人形を糸でつなぐ。この場合の計算式は、円の方程式をたて、交点を求めて緑色の人形の回転位置を求め重心位置を出す。初期の段階では、左図での計算が簡単である。(左図では重りの回転の関係図は省略している)
どのような回転モーメントが必要か  縦軸に回転モーメント、横軸に本体の回転角度をとり、
「時計回りのモーメント」−「反時計回りのモーメント」の図が左図のようになればよい。

 この図は、「0度超え」から「180度近く」まで、総てプラスとなっている。つまり、0度から180度まで時計回りに回転しますよ、と教えてくれている。また、図のAは人形を階段に置いた時の本体の角度である。この状態で、回転をするモーメントになっており、置けばすぐ回転を始める。

 回転が始まらない、途中で停止する、などは、このモーメント図にマイナスの部分があるか、回転部の摩擦抵抗が多いなどが考えられる。
 表計算の場合、人形や本体の重さ・位置関係、重りの重さや位置関係をパラメーターとして変化させて図をかかすと実際に作らなくてもうまくいくかどうかのシミュレーションが出来る。

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